Universidad tecnológica de panamá Facultad de Ingeniería Eléctrica
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Resorte 1En base a las experiencias anteriores conocemos que: K=5.041 N/m M=0.150 kg Wn=5.695 rad/s Xo=0.77m Si tomamos condiciones iniciales t=0, X (0)=0.77m y V(0)=0, tenemos: 𝑋(0) = 𝐴1𝐶𝑜𝑠(𝑊𝑛(0)) + 𝐴2𝑆𝑒𝑛(𝑊𝑛(0)) 𝑋(0) = 𝐴1𝐶𝑜𝑠(0) + 𝐴2𝑆𝑒𝑛(0) 𝑋(0) = 𝐴1(1) + 𝐴2(0) => 𝑿(𝟎) = 𝑨𝟏 𝑨𝟏 = 𝟎. 𝟕𝟕𝒎 Al derivar la ecuación general tenemos: 𝑋(𝑡) = 𝐴1 cos(𝑊𝑛 𝑡) + 𝐴2𝑠𝑒𝑛(𝑊𝑛 𝑡) 𝑉(𝑡) = −5.695𝐴1𝑆𝑒𝑛(5.695(𝑡)) + 5.695𝐴2𝐶𝑜𝑠(5.695(𝑡)) 0 = −5.695𝐴1𝑆𝑒𝑛(5.695(0)) + 5.695𝐴2𝐶𝑜𝑠(5.695(0)) 𝑨𝟐 = 𝟎 Conociendo 𝐴1 y 𝐴2 ,sustituimos en la ecuación general tenemos:
𝑿(𝒕) = 𝟎. 𝟕𝟕 𝐜𝐨𝐬(𝟓. 𝟔𝟗𝟓 𝒕) Al derivar la ecuación obtenemos la velocidad del sistema:
𝑉(𝑡) = −0.77 ∗ 5.695 𝑆𝑒𝑛(5.695𝑡) 𝑽(𝒕) = −𝟒. 𝟑𝟓𝟐 𝑺𝒆𝒏(𝟓. 𝟔𝟗𝟓𝒕) Al derivar la ecuación de la velocidad obtenemos la aceleración del sistema: 𝐴(𝑡) = −𝑋0𝑊𝑛2𝐶𝑜𝑠(𝑊𝑛𝑡) 𝐴(𝑡) = −0.77 ∗ 5.6952𝐶𝑜𝑠(5.695𝑡) 𝑨(𝒕) = −𝟐𝟒. 𝟗𝟕𝟑𝑪𝒐𝒔(𝟓. 𝟔𝟗𝟓𝒕)
Fig.1 Diagrama de bloques Fig. 2 Comportamiento del sistema Fig 3. Posición Fig 4. Aceleración Fig 5. Velocidad Resorte 2En base a las experiencias anteriores conocemos que: K=9.0348 N/m M=0.150 Kg Wn=7.306 rad/s Xo=0.64 m, Si tomamos condiciones iniciales t=0, X (0)=0.77m y V(0)=0, tenemos: 𝑋(0) = 𝐴1𝐶𝑜𝑠(𝑊𝑛(0)) + 𝐴2𝑆𝑒𝑛(𝑊𝑛(0)) 𝑋(0) = 𝐴1𝐶𝑜𝑠(0) + 𝐴2𝑆𝑒𝑛(0) 𝑋(0) = 𝐴1(1) + 𝐴2(0) => 𝑿(𝟎) = 𝑨𝟏 𝑨𝟏 = 𝟎. 𝟔𝟒𝒎 Al derivar la ecuación general tenemos: 𝑋(𝑡) = 𝐴1 cos(𝑊𝑛 𝑡) + 𝐴2𝑠𝑒𝑛(𝑊𝑛 𝑡) 𝑉(𝑡) = −7.306 𝐴1𝑆𝑒𝑛(7.306 (𝑡)) + 7.306 𝐴2𝐶𝑜𝑠(7.306 (𝑡)) 0 = −7.306 𝐴1𝑆𝑒𝑛(7.306 (0)) + 7.306 𝐴2𝐶𝑜𝑠(7.306 (0)) 𝑨𝟐 = 𝟎 Conociendo 𝐴1 y 𝐴2 ,sustituimos en la ecuación general tenemos: 𝑋(𝑡) = 𝐴1 cos(𝑊𝑛 𝑡) + 𝐴2𝑠𝑒𝑛(𝑊𝑛 𝑡) 𝑋(𝑡) = 0.77 cos(5.695 𝑡) + (0)𝑠𝑒𝑛(𝑊𝑛 𝑡) 𝑿(𝒕) = 𝟎. 𝟕𝟕 𝐜𝐨𝐬(𝟓. 𝟔𝟗𝟓 𝒕) Al derivar la ecuación obtenemos la velocidad del sistema:
𝑉(𝑡) = −0.77 ∗ 7.306 𝑆𝑒𝑛(7.306 𝑡) 𝑽(𝒕) = −𝟓. 𝟔𝟐𝟓 𝑺𝒆𝒏(𝟕. 𝟑𝟎𝟔 𝒕) Al derivar la ecuación de la velocidad obtenemos la aceleración del sistema: 𝐴(𝑡) = −𝑋0𝑊𝑛2𝐶𝑜𝑠(𝑊𝑛𝑡) 𝐴(𝑡) = −0.77 ∗ 7.3062𝐶𝑜𝑠(7.306 𝑡) 𝑨(𝒕) = −𝟒𝟏. 𝟏𝟎𝟎 𝑪𝒐𝒔(𝟕. 𝟑𝟎𝟔 𝐭)
Gráfica de posición, velocidad y aceleración del sistema masa-resorte 2. Resorte 3En base a las experiencias anteriores conocemos que: K=12.25 N/m M=0.150 kg Wn=8.491 rad/s Xo=0.48m Si tomamos condiciones iniciales t=0, X (0)=0.48m y V(0)=0, tenemos: 𝑋(0) = 𝐴1𝐶𝑜𝑠(𝑊𝑛(0)) + 𝐴2𝑆𝑒𝑛(𝑊𝑛(0)) 𝑋(0) = 𝐴1𝐶𝑜𝑠(0) + 𝐴2𝑆𝑒𝑛(0) 𝑋(0) = 𝐴1(1) + 𝐴2(0) => 𝑿(𝟎) = 𝑨𝟏 𝑨𝟏 = 𝟎. 𝟒𝟖𝒎 Al derivar la ecuación general tenemos: 𝑋(𝑡) = 𝐴1 cos(𝑊𝑛 𝑡) + 𝐴2𝑠𝑒𝑛(𝑊𝑛 𝑡) 𝑉(𝑡) = −8.491𝐴1𝑆𝑒𝑛(8.491(𝑡)) + 8.491𝐴2𝐶𝑜𝑠(8.491(𝑡)) 0 = −8.491𝐴1𝑆𝑒𝑛(8.491(0)) + 8.491𝐴2𝐶𝑜𝑠(8.491(0)) 𝑨𝟐 = 𝟎 Conociendo 𝐴1 y 𝐴2 ,sustituimos en la ecuación general tenemos:
𝑿(𝒕) = 𝟎. 𝟒𝟖 𝐜𝐨𝐬(𝟖. 𝟒𝟗𝟏 𝒕) Al derivar la ecuación obtenemos la velocidad del sistema:
𝑉(𝑡) = −0.61 ∗ 8.491 𝑆𝑒𝑛(𝑡) 𝑽(𝒕) = −𝟒. 𝟎𝟕𝟓𝟔𝑺𝒆𝒏(𝟖. 𝟒𝟗𝟏𝒕) Al derivar la ecuación de la velocidad obtenemos la aceleración del sistema: 𝐴(𝑡) = −𝑋0𝑊𝑛2𝐶𝑜𝑠(𝑊𝑛𝑡) 𝐴(𝑡) = −0.48 ∗ 8.4912𝐶𝑜𝑠(8.491𝑡) 𝑨(𝒕) = −𝟑𝟒. 𝟔𝟎𝟔 𝑪𝒐𝒔(𝟖. 𝟒𝟗𝟏𝒕)
Diagrama para resorte 3 Xcos Gráfica de posición, velocidad y aceleración para el sistema masa- resorte 3. Preguntas: ¿Que concluye respecto a las frecuencias angulares naturales, frecuencias naturales, y periodos naturales de oscilación, para los sistemas Masa-Resorte estudiados? Basado en los resultados vistos en este laboratorio en y los casos estudiados la frecuencia natura depende únicamente en la relación directa entre la masa y la constante de resorte. ¿Como compara las amplitudes de posición, velocidad y aceleración para los tres sistemas estudiados? Podemos notar que al aumentar la constante del resorte la amplitud de la posición máxima no cambia sin embargo la máxima velocidad y aceleración si aumenta y resultaría en que el sistema tendría más movimiento. Conclusiones Omar Bonilla En este laboratorio podemos hacer la comparación directa de dos métodos de solución para el análisis de un sistema masas-resorte. Se utilizo el método de xcos y la solución manual. Podemos notar que en ambos casos los resultados fueron idénticos. También podemos ver como la frecuencia natural esta afectado solamente por el resorte y la masa del sistema, adicionalmente no afecta a la posición máxima de la masa solamente la máxima aceleración y velocidad que esta alcanza en su trayecto. Referencias Dr. Dimas Portillo. (2016). Dinámica Aplicada, Guía de Laboratorio. Panamá: Editorial Universitaria Download 260.15 Kb. Share with your friends:
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