11-mavzu. Musbat aniqlangan kvadratik formalar. Inersiya qonuni. 5-ta’rif
Download 136.73 Kb.
|
|
11-mavzu. Musbat aniqlangan kvadratik formalar. Inersiya qonuni. 1.5-ta’rif. Agar xar qanday vektor uchun bo‘lsa, kvadratik forma musbat aniqlangan kvadratik forma deyiladi. Misol 1.1. kvadratik forma biror bazisda ko‘rinishga ega bo‘lsa, bunday kvadratik forma musbat aniqlangan kvadratik forma bo‘ladi. musbat aniqlangan kvadratik forma va uning qutbiy bichiziqli formasi bo‘lsin. Yuqorida berilgan ta’riflarga muvofiq quyidagilarga ega bo‘lamiz: 1) 2) 3) 4) va Bu shartlar skalyar ko‘paytmaning aksiomalari bilan bir hil ekanligini ko‘rish qiyin emas. Demak, musbat aniqlangan kvadratik formaga mos bo‘lgan bichiziqli forma skalyar ko‘paytma bo‘ladi. 1.4-teorema. kvadratik forma musbat aniqlangan bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va yetarlidir. Isbot. Teoremaning yetarlik isboti yuqoridagi mulohazadan kelib chiqadi. Shuning uchun uning zaruriyligini isbot qilish bilan chegaralanamiz. Aytaylik, kvadratik forma musbat aniqlangan bo‘lsin. Dastlab ekaniligini ko‘rsataylik. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni bo‘lsin. Bundan determinantning satrlari chiziqli bog‘liq ekanligi kelib chiqadi, ya’ni, kamida bittasi noldan farqli bo‘lgan lar topilib, o‘rinli bo‘ladi. Yuqoridagi tenglikdan ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa tenglikni hosil qilamiz. Bu kvadratik formaning musbat aniqlangan ekanligiga zid, chunki Demak, bo‘lib, ning ixtiyoriyligidan larning barchasi noldan farqli ekanligi kelib chiqadi. U holda 1.2-teoremaga ko‘ra kvadratik formaning kanonik ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi Agar biror uchun bo‘lsa, u holda bu shartni qanoatlantiruvchi eng kichik uchun bo‘ladi. Bu esa kvadratik formaning musbat aniqlangan ekanligiga zid, demak, Ma’lumki, kvadratik formani turli hil usullar bilan kanonik ko‘rinishga keltirish mumkin bo‘lib, uni kanonik ko‘rinishga olib keluvchi bazislar ham turlicha bo‘lishi mumkin. Kvadratik formani (1.1) ko‘rinishga keltiruvchi basis vektorlarni ularga proporsional vektorlar bilan almashtirish orqali noldan farqli koeffitsientlarni 1 yoki –1 ga teng qilib olish mumkin. Demak, kvadratik formaning kanonik ko‘rinishini mos tartibda 0, 1 va –1 ga teng bo‘lgan koeffitsientlar soni bilan xarakterlash mumkin. Tabiiyki, bazisni turlicha tanlab olish mumkinligi uchun, 0, 1 va –1 ga teng bo‘lgan koeffitsientlar soni bazisni tanlab olishga bog‘liqmi yoki yo‘qmi degan savol tug‘iladi. Masalan, kvadratik forma biror bazisda matritsaga ega bo‘lib, matritsaning bosh minorlari noldan farqli bo‘lsa, kvadratik formaning kanonik ko‘rinishidagi barcha koeffitsientlar noldan farqli va manfiy koeffisientlar soni determinantlar qatoridagi ishora almashishlar soniga teng bo‘ladi. Ammo boshqa bir boshlang‘ich bazis olib, bu bazisga mos keluvchi matritsani orqali belgilab, determinantlarni topsak, hamda kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltirsak, nima uchun bu holda ham ishora almashinishlar soni yuqoridagi holat bilan bir hil bo‘lishi bir qarashda tushunarli emas. Biz ushbu paragrafda kvadratik formaning inersiya qonuni deb ataluvchi quyidagi teoremani isbot qilamiz. Download 136.73 Kb. Share with your friends:
|