11-mavzu. Musbat aniqlangan kvadratik formalar. Inersiya qonuni. 5-ta’rif
Download 136.73 Kb.
|
| 1.1-teorema. Agar kvadratik forma ikki hil usul bilan kanonik ko‘rinishga keltirilgan bo‘lsa, u holda bu kanonik ko‘rinishlarda musbat, manfiy va nolga teng koeffitsientlarning soni ikkala holatda ham bir hil bo‘ladi.
Dastlab quyidagi lemmani isbot qilamiz. 1.2-lemma. o‘lchamli fazoda mos tartibda va o‘lchamli ikkita va qism fazolar berilgan bo‘lib, bo‘lsin. U holda bu qism fazolarning ikkalasiga ham tegishli bo‘lgan noldan farqli vektor mavjud. Isbot. Berilgan va qism fazo larda mos ravishda va bazislar olaylik. ekanligi uchun , vektorlar chiziqli bog‘liq bo‘ladi. Demak, kamida bittasi noldan farqli bo‘lgan , sonlari topilib, ya’ni Agar deb faraz qilsak, vektor bir tomondan vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi, ikkinchi tomondan esa vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida tasvirlanishini ko‘rishimiz mumkin. Demak, vektor va qism-fazolarning ikkalasiga ham tegishli bo‘ladi. Endi ushbu vektorni noldan farqli ekanligini ko‘rsatamiz. Agar bo‘lsa, . va vektorlar sistemalari mos ravishda va qism fazolarning bazislari bo‘lganligi uchun, bu vektorlar sistemalari chiziqli erkli. Bundan esa va ekanligi kelib chiqadi. Bu esa , sonlarining kamida bittasi noldan farqli ekanligiga ziddir. Demak, Endi 1.1-teoremaning isbotiga o‘tamiz. Aytaylik, kvadratik forma bazisda (1.2) ko‘rinishga, bazisda esa (1.3) ko‘rinishga ega bo‘lsin, bu yerda va lar mos ravishda vektorning va bazislardagi koordinatalari. va ekanligini isbot qilishimiz kerak. Faraz qilaylik, bo‘lsin. vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lgan va vektorlarning chiziqli kombinatsi-yasidan iborat bo‘lgan qism fazolarni qaraymiz. Ma’lumki, bo‘lib, ekanligi uchun 1.2-lemmaga asosan va qism fazolarning kesishmasida noldan farqli vektor mavjud. U holda va bo‘ladi, ya’ni vektor bazisda koordinatalarga, bazisda esa koordinatalarga ega bo‘ladi. Bu koordinatalarni (1.2) va (1.3) tengliklarga qo‘yib, bir tomondan ikkinchi tomondan esa munosabatni hosil qilamiz. Bu esa deb olingan farazga zid. Xuddi shu usul bilan va tengsizliklarning o‘rinli emasligi ham ko’rsatiladi. Demak, 1.3-ta’rif. Kvadratik formaning kanonik shaklidagi noldan farqli koeffitsientlar soni kvadratik formaning rangi deyiladi. Yuqorida isbot qilingan inersiya qonunidan kvadratik formaning rangi faqat uning o‘ziga bog‘liq bo‘lib, kanonik shaklga keltirish usuliga bog‘liq emasligi to‘g‘ridan-to‘g‘ri kelib chiqadi. Amalda kvadratik formaning rangini kvadratik formaning kanonik shaklidan foydalanmay turib aniqlash usuli mavjud. Buning uchun kvadratik forma rangi bilan uning biror bazisdagi matritsasi rangi orasidagi bog’lanishni o’rnatish kifoya. Download 136.73 Kb. Share with your friends:
|