Chiziqli tеnglamalar sistеmasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularning yechimi
Download 258.02 Kb.
|
Fazoda tekislik va to’g’ri chiziq tenglamalari
- Navigate this page:
- Misol
- 4.3. Kramer (determinantlar) usuli.
- Kramer formulalari
| 4.2. Matritsalar usuli. Bu usulda sistemaning matritsaviy ko‘rinishda yozilgan (4) ifodasidan foydalaniladi. Bunda r(А)=n shartdan sistemaning n – tartibli A kvadrat matritsasi maxsusmas ekanligi kelib chiqadi, chunki matritsa rangi ta’rifiga asosan ∆=|A|≠0 bo‘ladi. Bu holda A matritsaga teskari matritsa A–1 mavjud va (4) matritsaviy tenglamaning ikkala tomonini unga chap tomondan ko‘paytirish mumkin. Natijada, teskari matritsa ta’rifi va birlik matritsa xossasidan foydalanib, ushbu formulani hosil etamiz:
(7) (4) matritsaviy ko‘rinishdagi n noma’lumli chiziqli n ta tenglamalar sistemasi yechimini ifodalovchi (7) formula bir noma’lumli ax=b (a≠0) chiziqli tenglamaning yechimini determinant x=b/a=a–1b formulaga o‘xshash ekanligini ta’kidlab o‘tamiz. Misol: Ushbu tenglamalar sistemasini matritsa usulida yeching: Yechish: Dastlab sistemaning A matritsasini yozib, uning determinantini hisoblaymiz: Demak A matritsa maxsusmas, unga teskari matritsa mavjud va uni §3 dagi (3) formulaga asosan topamiz: Endi (7) formula bo‘yicha noma’lumlardan tuzilgan X ustun matritsani aniqlaymiz: Demak, sistemaning yagona yechimi х1 = 1, х2 = –2 , х3 =3 bo‘ladi. Shunday qilib matritsalar usuli har qanday n noma’lumli n ta tenglamali aniq sistema yechimini oddiy va ixcham ko‘rinishdagi (7) formula bilan ifodalash imkonini beradi. Bu formula nazariy tadqiqotlar uchun qulaydir, ammo n oshib borishi bilan uning amaliy tatbig‘i murakkablashib boradi. Bunga sabab shuki, bu holda A–1 teskari matritsani topish uchun yuqori tartibli determinantlarni hisoblashga to‘g‘ri keladi. 4.3. Kramer (determinantlar) usuli. Matritsaviy ko‘rinishda (7) formula bilan ifodalanuvchi (1) sistema (m=n) yechimini teskari matritsa formulasidan foydalanib quyidagicha yozamiz: . Bu yerdan sistemaning xk (k=1, 2, …, n) yechimi uchun ushbu formulalar kelib chiqadi: (8) Bunda determinantning 11-xossasidan foydalanib, k=1, 2, …, n, uchun ushbu tengliklar o‘rinli bo‘lishidan foydalandik. (8) formulalarda (1) sistemaning aij koeffitsiyentlaridan tuzilgan determinant sistemaning asosiy determinanti, uning k-ustunini ozod hadlar ustuni B bilan almashtirishdan hosil bo‘lgan ∆k ( k=1, 2, …, n) determinantlar esa yordamchi determinantlar deyiladi. 5-TA’RIF: (1) chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini asosiy va yordamchi determinantlar orqali ifodalovchi (8) tengliklar Kramer formulalari deb ataladi. Kramer usulining afzalligi shundan iboratki, u orqali sistemaning ma’lum bir noma’lumlarini ham (masalan, faqat x1 va x2 noma’lumlarni) topish mumkin. Ammo bu usul ham n katta bo‘lganda yuqori tartibli determinantlarni hisoblashni taqozo etadi va shu sababli uni amalda qo‘llash katta qiyinchiliklar bilan bog‘liq. Kramer formulalarini n=2 hol uchun yozamiz. Bunda (1) chiziqli tenglamalar sistemasi , asosiy va yordamchi determinantlar va Kramer formulalari ko‘rinishda bo‘ladi. Shunga o‘xshash n=3 bo‘lganda sistema , asosiy va yordamchi determinantlar va Kramer formulalari ko‘rinishda bo‘ladi. Download 258.02 Kb. Share with your friends:
|