Chiziqli tеnglamalar sistеmasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularning yechimi
Download 258.02 Kb.
|
Fazoda tekislik va to’g’ri chiziq tenglamalari
| 2-xossa. Agar X1=(к1,к2,к3,…,кn) vа X2=(l1,l2,l3,…,ln) bir jinsli (11) sistemaning yechimlari bo‘lsa, u holda ixtiyoriy C1 va C2 sonlar uchun
X= C1X1+ C2X2 = (C1к1+C2l1, C1к2+C2l2,…, C1кn+C2ln) ham (11) sistеmaning yechimi bo‘ladi. Bunda C1X1+ C2X2 algebraik yig‘indi X1 va X2 yechimlarning chiziqli kombinatsiyasi deyiladi. 9-TA’RIF: (11) sistemaning qandaydir X1, X2, …, Xк yechimlari chiziqli bog‘liqmas deyiladi, agarda C1X1+C2 X2+ …+Cк Xк=О tеnglik faqat va faqat C1=C2=…=Cк=0 bo‘lganda bajarilsa. Aks holda bu yechimlar chiziqli bog‘liq deyiladi. Bu yerda O=(0,0, …,0)=O1×n –nol satr matritsani ifodalaydi. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi yechimlarining har qanday chiziqli kombinatsiyasi yana shu sistemaning yechimi bo‘lishi yuqoridagi xossalardan kelib chiqadi. Shuning uchun shunday chiziqli bog‘liq bo‘lmagan yechimlarni topish kerakki, ular orqali sistemaning barcha qolgan yechimlari chiziqli ifodalansin. 10-TA’RIF: Agar (11) bir jinsli tenglamalar sistemaning har qanday X yechimini qandaydir chiziqli bog‘liq bo‘lmagan X1, X2, …, Xк yechimlarning chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalab bo‘lsa, unda X1, X2, …, Xк fundamental yechimlar sistemasi deyiladi. 3-TЕORЕMA: Agar (11) chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining matritsaning rangi r(A)<n bo‘lsa, bu sistemaning har qanday fundamental yechimlar sistemasi n–r ta X1, X2, …, Xn–r yechimdan iborat bo‘ladi va umumiy yechim X ularning X= C1 X1+C2 X2+ …+Cn–r Xn–r chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida bo‘ladi. Bu yerda C1, C2, …, Cn–r –ixtiyoriy o‘zgarmas sonlardan iboratdir. Endi n noma’lumli m та chiziqli tenglamadan iborat bir jinsli bo‘lmagan (1) va unga mos keluvchi bir jinsli (11) sistemalarning yechimlari orasidagi bog‘lanishlarni ko‘rib chiqamiz. Buning uchun ularning AX=B va AX=О matritsaviy yozuvlaridan foydalanamiz. 4-TЕORЕMA: Agar X1 va X2 bir jinsli bo‘lmagan sistemaning ixtiyoriy ikkita yechimi bo‘lsa, unda X= X1 – X2 bir jinsli sistemaning yechimi bo‘ladi. Isbot: Matritsalarning xossalari va AX1=B, AX2=B tengliklarga asosan AX=A(X1 – X2)= AX1 –A X2=B–B=О. 5-TЕORЕMA: Agar X1 va X0 mos ravishda bir jinsli bo‘lmagan (1) va bir jinsli (11) sistemalarning yechimlari bo‘lsa, unda X= X1 ± X0 bir jinsli bo‘lmagan (1) sistemaning yechimi bo‘ladi. Isbot: Matritsalarning xossalari va AX1=B, AX0=О tengliklarga asosan AX=A(X1 ± X0)= AX1 ±A X0=B–О=B. Bu teoremalardan ko‘rinadiki, bir jinsli bo‘lmagan (1) sistemaning umumiy X yechimini topish uchun uning birorta xususiy X1 yechimi bilan tegishli bir jinsli sistemaning umumiy X0 yechimini bilish kifoya. Bu holda X=X1+X0 tenglik o‘rinli bo‘ladi. Keyinchalik bu tasdiq boshqa tur tenglamalar uchun ham o‘rinli bo‘lishini ko‘ramiz. Download 258.02 Kb. Share with your friends:
|