Chiziqli tеnglamalar sistеmasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularning yechimi
Misol: Ushbu sistemani Gauss usulida yeching: Yechish
Download 258.02 Kb.
|
Fazoda tekislik va to’g’ri chiziq tenglamalari
- Navigate this page:
- 4.5. n noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi.
| Misol: Ushbu sistemani Gauss usulida yeching:
Yechish: Bu sistemadan noma’lumlarni birin-ketin yo‘qotamiz. 1-qadam. Sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalardan х1 noma’lumni yo‘qotamiz. Kasr sonlarga kelmaslik va bu orqali hisoblashlarni soddalashtirish maqsadida buni quyidagicha amalga oshiramiz. Dastlab 1-tenglamani ikkala tomonini –3 soniga, 2-tenglamani esa 2 soniga ko‘paytirib, ularni o‘zaro qo‘shamiz. So‘ngra 1-tenglamani ikkala tomonini –2 soniga ko‘paytirib, hosil bo‘lgan tenglamani 3-tenglamaga qo‘shamiz. Natijada quyidagi ekvivalent sistemaga kelamiz: . 2-qadam. Oldingi qadamda hosil qilingan sistemaning 2-tenglamasini –8 soniga, 3-tenglamasini 17 soniga ko‘paytirib o‘zaro qo‘shamiz: Dastlab bu uchburchakli sistemaning 3- tenglamasidan х3=3 ekanligini topamiz. So‘ngra bu natijani sistemaning 2- tenglamasiga qo‘yib, undan х2 = –2 ekanligini aniqlaymiz. Yakuniy qadamda х2 = –2 va х3 = 3 natijalarni sistemaning 1- tenglamasiga qo‘yib, undan х1 =1 ekanligini topamiz. Demak berilgan sistemaning yagona yechimi х1 =1, х2 = –2 va х3 =3 ekan. 4.5. n noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi. Endi (1) sistemani m≠n holda yechish masalasi ustida to‘xtalib o‘tamiz. Bunda doimo m≤n, ya’ni tenglamalar soni noma’lumlar sonidan katta emas deb hisoblashimiz mumkin. Agar m>n bo‘lsa, unda noma’lumlarni yo‘qotish usulidan quyidagicha foydalanib, m≤n holga kelamiz. 1-qadamda sistemaning ikkinchi va undan keyingi barcha tenglamalaridan x1 noma’lumni yo‘qotib, ularda faqat x2, x3, …, xn noma’lumlar qatnashishiga erishamiz. 2-qadamda sistemaning uchinchi va undan keyingi barcha tenglamalaridan x2 noma’lumni yo‘qotib, ularda faqat x3, x4, …, xn noma’lumlar qatnashishiga erishamiz. Bu jarayonni davom ettirib, (n–1)-qadamda n-tenglama va undan keyingi tenglamalarda faqat bitta xn noma’lum qolishiga erishamiz. Navbatdagi qadamda n- tenglamadan foydalanib, (n+1)-tenglama va undan keyingi barcha tenglamalardan oxirgi xn noma’lumni yo‘qotamiz. Natijada bu tenglamalar o‘rnida 0=bk ( k=n+1, n+2, …, m) ko‘rinishidagi ifodalar paydo bo‘ladi. Agar (1) sistema birgalikda, ya’ni yechimga ega bo‘lsa, unda hamma bk sonlar nollardan iborat bo‘ladi va aksincha. Agar bk sonlardan kamida bittasi noldan farqli bo‘lsa, unda (1) sistema birgalikda emas, ya’ni yechimga ega bo‘lmaydi. Ikkala holda ham sistemada qolgan tenglamalar soni n ga teng yoki undan kichik bo‘ladi, chunki qolgan tenglamalar orasida ham 0=bk ko‘rinishdagi ifodalar bo‘lishi mumkin. Misol sifatida m=4, n=3 bo‘lgan ushbu sistemani qaraymiz: . Bu sistemaning 1-tenglamasidan foydalanib keyingi tenglamalaridan x1 noma’lumni yo‘qotamiz: . Hosil bo‘lgan sistemaning 2-tenglamasidan foydalanib keyingi tenglamalaridan x2 noma’lumni yo‘qotamiz: . Demak berilgan sistema m=2, n=3 (m . Shunday qilib (1) sistemada m≤n bo‘lsin. Bu sistema yechimga ega, ya’ni (3) va (6) matritsalarning ranglari teng va r(A)=r(Ab)=r bo‘lsin. Bunda r≤m bo‘ladi. Agar r=m=n bo‘lsa, unda sistemaning asosiy determinanti ∆=|A|≠0 bo‘ladi, ya’ni oldin ko‘rib o‘tilgan holga kelamiz va sistema yechimini matritsalar, Kramer yoki Gauss usullaridan birining yordamida topamiz. Endi (1) sistema matritsasining rangi r(А)=r Bu sistemaning tenglamalaridagi koeffitsiyentlari bazis minorga kirgan noma’lumli (ularni х1, х2, …, хr deb olishimiz mumkin) qo‘shiluvchilarni o‘z joyida qoldirib, boshqa хr+1, хr+2, …, хn noma’lumli qo‘shiluvchilarni tenglamalarni o‘ng tomoniga o‘tkazib, quyidagi sistemaga kelamiz: (10) (10) sistemadagi х1, х2, …, хr noma’lumlar asosiy o‘zgaruvchilar, qolgan n–r ta хr+1, хr+2, …, хn noma’lumlar esa erkli o‘zgaruvchilar dеb ataladi. Erkli o‘zgaruvchilarga ixtiyoriy bir хr+1=C1, хr+2=C2, …, хn=Cn–r qiymatlarni beramiz. Unda (10) х1, х2, …, хr asosiy o‘zgaruvchilarga nisbatan r noma’lumli r ta chiziqli tenglamalar sistemasini ifodalaydi. Bu sistemaning asosiy determinanti M bazis minordan iborat bo‘lib, noldan farqlidir. Unda (10) sistema yagona yechimga ega bo‘lib, uni matritsalar yoki Kramer yoki Gauss usulida topish mumkin. Demak asosiy х1, х2, …, хr o‘zgaruvchilarning qiymatlari хr+1=C1, хr+2=C2, …, хn=Cn–r erkli o‘zgaruvchilar qiymatlariga bog‘liq holda aniqlanadi, ya’ni ko‘rinishda bo‘ladi. Unda (1) yoki unga ekvivalent (10) sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lib, ular ustun matritsani tashkil etadi va sistemaning umumiy yechimi deyiladi. Bunda C1=0, C2=0, …, Cn–r=0 holga mos keladigan X bazis yechim deb ataladi. Download 258.02 Kb. Share with your friends:
|