Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus taʼlim vazirligi muqimiy nomidagi qoʻqon davlat pedagogika instituti magistratura boʻlimi
Download 40.6 Kb.
|
Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus taʼlim vazirligi m-fayllar.org
- Navigate this page:
- Limitlar mavzusining o’rta ta’lim maktablari va akademik litseylarda o’qitilishi.
- Limit haqida tushuncha.
- Ketma-ketlikning qirqimi. Cheksiz kichik ketma-ketliklar
| Tа’rif : Аgаr {xn} kеtmа-kеtlikning hаdlаri quyidаgi
x1 x2 x3 . . . xn . . . (x1 > x2 > x3 > . . . > xn > . . . ) tеngsizliklаrni qаnоаtlаntirsа, ya’ni nN uchun хn xn+1 (xn>xn+1) bo‘lsа, {хn} kаmаyuvchi (qаt’iy kаmаyuvchi) kеtmа-kеtlik dеyilаdi. O‘suvchi (qаt’iy o‘suvchi), kаmаyuvchi (qаt’iy kаmаyuvchi) kеtmа-kеtliklаr mоnоtоn kеtmа-kеtliklаr dеyilаdi. 1-misоl. Ushbu kеtmа-kеtlikning o‘suvchi ekаnini ko‘rsаting Bu kеtmа-kеtlikning hаdlаrini оlib, xn+1-xn аyirmаni qаrаymiz: Rаvshаnki, nN uchun Dеmаk, nN dа xn+1 - xn >0, ya’ni xn < xn+1 bo‘lаdi. Bu esа bеrilgаn kеtmа-kеtlikning o‘suvchi (hаttо qаt’iy o‘suvchi) ekаnini bildirаdi. 2-misоl. Ushbu kеtmа-kеtlikning kаmаyuvchi ekаnini ko‘rsаting. Bu kеtmа-kеtlikning hаdlаrini оlib, ulаrning nisbаtini qаrаymiz: Rаvshаnki, iхtiyoriy nN dа bo‘lаdi. Dеmаk, Bu tеngsizlikdаn esа xn>xn+1 (nN) kеlib chiqаdi. Dеmаk, kеtmа-kеtlik kаmаyuvchi ekаn. Fаrаz qilаylik, {xn} vа {yn} sоnlаr kеtmа-kеtligi bеrilgаn bo‘lsin: xn : x1 , x2 , x3 , x4 , . . . , xn , . . . , yn : y1 , y2 , y3 , y4 , . . . , yn , . . . , Quyidаgi x1 + y1 , x2 +y2 , x3 + y3 , . . . , xn +yn . . . , x1 - y1 , x2 - y2 , x3 - y3 , . . . , xn - yn . . . , kеtmа-kеtliklаr mоs rаvishdа {xn} vа {yn} kеtmа-kеtliklаr yig’indisi hаmdа аyirmаsi dеyilаdi vа {xn + yn}, {xn - yn} kаbi bеlgilаnаdi. Ushbu x1y1 , x2y2, . . . ,xn yn , kеtmа--kеtlik {xn} vа {yn} kеtmа-kеtliklаr ko‘pаytmаsi dеyilаdi vа {xnyn} kаbi bеlgilаnаdi. kеtmа-kеtlik {xn} vа {yn} kеtmа-kеtliklаr nisbаti dеyilаdi vа kаbi bеlgilаnаdi. Limitlar mavzusining o’rta ta’lim maktablari va akademik litseylarda o’qitilishi. Umumiy o’rta ta’lim maktablarining 11-sinflari va o’rta maxsus, kasb hunar ta’limi muassasalari uchun “Algebra va analiz asoslari.Geometriya” darsligida funksiya limiti haqida quyidagi ma’lumotlar berilgan. Limit haqida tushuncha. ning qiymatlari 2 dan kichik bo’lib, 2 ga yaqinlasha borganda funksiyaning qiymatlari jadvalini qaraylik. Jadvaldan ko’rinib turibdiki, ning qiymatlari 2 ga qancha yaqin bo’laversa (yaqinlashsa), funksiyaning mos qiymatlari ham 4 soniga yaqinlashaveradi. Bunday holatda argument (o’zgaruvchi) 2 ga chapdan yaqinlashganda ning qiymatlari 4 soniga yaqinlashadi deymiz. Endi ning qiymatlari 2 dan katta bo’lib, 3 ga yaqinlasha borganda funksiyaning qiymatlari jadvalini qaraylik Bunday holatda argument 2 ga o’ngdan yaqinlashganda, funksiya qiymatlari 4 soniga yaqinlashadi deymiz.Yuqoridagi 2 holatni umumlashtirib, argument 2 ga yaqinlashganda, ning qiymatlari 4 soniga yaqinlashadi deymiz va buni quyidagicha yozamiz. Bu yozuv shunday o’qiladi: argument 2 ga yaqinlashganda, funksiyaning limiti 4 ga teng. Umumiy holda funksiyaning limiti tushunchasiga quyidagicha yondashiladi: bo’lib, uning qiymatlari soniga yaqinlashsa, ning mos qiymatlari soniga yaqinlashsin. Bu holda soni ga yaqinlashganda funksiyaning limiti deyiladi va bunday belgilanadi: Ayrim hollarda mazkur holatni ning qiymatlari ga intilganda funksiya ga intiladi, deymiz. yozuv o’rniga da yozuv ham qo’llaniiladi. ning qiymati ga intilganda sharti bajarilishining muhimligini aytib o’tish joiz. Misol. bo’lganda funksiyaning limitini toping. Yechish. sharti bajarilmasin, ya’ni bo’lsin. qiymatni ga bevosita qo’yib borsak, ko’rinishdagi aniqmaslikka ega bo’lamiz. Boshqa tomondan, bo’lgani uchun bu funksiya ushbu ko’rinishni oladi. funksiyaning grafigi koordinatali nuqtasi “olib tashlangan” ko’rinishda bo’ladi.(1-rasm) 1-rasm koordinatali nuqta funksiyaning uzilish nuqtasi deyiladi.Ko’rinib turibdiki,bu nuqtadan farqli bo’lgan nuqtalarda ning qiymatlari 0 ga yaqinlashganda funksiyaning mos qiymatlari 5 ga yaqinlashadi, ya’ni uning limiti mavjud: Amalda, funksiya limitini topish uchun, lozim bo’lsa, tegishli soddalashtirishlarni bajarish maqsadga muvofiq. Misol. Limitlarni hisoblang. Yechish. ning qiymatlari 2 ga yaqinlashganda ning qiymatlari 4 ga yaqinlashadi, ya’ni bo’lgani uchun bo’lgani uchun A.U. Abduhamidov, H.A.Nasimov va boshqalarning “Algebra va matematik analiz asoslari” akademik liseylar uchun darsliklarida sonli ketma ketlik va uning limiti hamda funksiyaning limiti mavzulari 2 ta bo’limda bayon qilingan. Bu kitobda ketma-ketlikning qirqimi, cheksiz kichik ketma-ketliklar, cheksiz kichik ketma-ketliklar haqidagi asosiy teoremalar, cheksiz katta ketma-ketliklar, ketma ketlikning limiti, limitlar haqida asosiy teoremalar, monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremalar bayon qilingan. Funksiyaning nuqtadagi bir tomonlama limiti, funksiyaning o’ng va chap limitlari, cheksiz chap limit va cheksiz o’ng limit tushunchalariga ta’rif berilgan. Funksiyaning nuqtadagi limiti, aniq ishorali cheksiz limit, aniqmas ishorali cheksiz limit tushunchalari kiritilgan.Cheksiz katta va cheksiz kichik funksiyalarga ta’rif berilgan. Funksiyaning limiti haqidagi asosiy 10 ta teorema keltirilgan.Funksiyaning cheksizlikdagi limitiga ta’rif berilgan. Biz bularning asosiy joylarini bayon qilamiz. 1.2-§ Ketma-ketlikning qirqimi. Cheksiz kichik ketma-ketliklar Limit tushunchasi matematik analiz fanining muhim tushunchalaridan biridir. Biz dastlab ketma-ketlikning limiti tushunchasi bilan tanishib chiqamiz. cheksiz ketma-ketlik berilgan bo'lsin. Uning dastlabki ta hadini tashlab yuborishdan hosil bo'ladigan cheksiz sonli ketma-ketlik ketma-ketlikning - qirqimi deb ataladi va ko'rinishda belgilanadi. ketma-ketlikning dastlabki bir nechta qirqimlarini keltiraylik: Agar barcha natural sonlar uchun tengsizlik bajarilsa, qirqim 0 ning - atrofida yotadi deyiladi. 1 - misol. ketma-ketlik berilgan. sonning - atrofi uchun ketma-ketlikning shu atrofda yotadigan biror qirqimi mavjud yoki mavjud emasligini aniqlaymiz. Yechish. Bunday qirqimning mavjud yoki mavjud emasligi tengsizlikning biror N natural sondan boshlab, barcha natural sonlar uchun bajarilishi yoki bajarilmasligiga bog'liqdir. Shu sababli, tengsizlikni natural songa nisbatan yechib olishimiz tabiiydir: sonini olamiz. U holda barcha natural sonlari uchun. bo'ladi. Demak, sonning - atrofi uchun - ketmakrtlikning shu atrofda yotadigan qirqimi mavjud. Bunday qirqim sifatida, masalan, qirqimni olish mumkin. Bu qirqimdan keyingi qirqimlar ham shu atrofda yotishini eslatib o'tamiz. Ma’lum bo'lishicha, sonning ixtiyoriy - atrofini olmaylik, ketma-ketlikning shu atrofga tegishli bo'ladigan biror qirqimi mavjud bo ‘ladi, ya ’ni ixtiyoriy son uchun shunday N naturaI son mavjudki, barcha natural sonlar uchun tengsizlik bajariladi. 2 -misol. a = 0 sonning ixtiyoriy -atrofi uchun ketma-ketlikning shu atrofga tegishli bo'ladigan biror qirqimi mavjudligini isbotlang. Isbot. - ixtiyoriy musbat son bo'lsin. tengsizlikni n natural songa nisbatan yechib olaylik: dan katta biror natural son ni, masalan, natural sonni olamiz. U holda barcha natural sonlar uchun bo'ladi, ya’ni ketma-ketlikning qirqimi 0 sonining - atrofida yotadi. ketma-ketlik berilgan bo'lsin. Agar nuqtaning ixtiyoriy - atrofi uchun, ketma-ketlikning shu atrofda yotuvchi biror qirqimi mavjud bo'lsa, ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik deyiladi.
Download 40.6 Kb. Share with your friends:
|