Cheksiz kichik ketma-ketliklar haqidagi asosiy teoremalar.
Cheksiz kichik ketma-ketliklami grek alifbosi harflaridan foydalanib, kabi belgilash qulaydir. Cheksiz kichik ketma ketlik limiti haqidagi teoremalarni shu belgilashlarda bayon etamiz.
1-Teorema. ketma-ketliklar cheksiz kichik ketma ketliklar bo‘Isa, ketma-ketlik ham cheksiz kichik ketma ketlik bo'ladi.
Isbot. ixtiyoriy musbat son bo'lsin. 0 ning atrofini qaraymiz. cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lgani uchun shunday natural son topiladiki, uning hadidan boshlab barcha hadlari qaralayotgan atrofda yotadi, ya’ni barcha lar uchun tengsizlik bajariladi. Xuddi shu kabi cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lgani uchun shunday natural son topiladiki, uning hadidan boshlab barcha hadlari qaralayotgan atrofda yotadi, ya’ni barcha natural sonlar uchun bo'ladi. va sonlaridan katta bo'lgan ixtiyoriy N natural sonni olib, va qirqimlarni qaraylik. Ularning har biri 0 sonining qaralayotgan - atrofida yotadi:
Shu sababli ketma-ketlikning qirqimi 0 sonining - atrofida yotadi:
(bu yerda ).
Demak, ixtiyoriy son uchun shunday N natural son mavjudki, barcha natural sonlarda tengsizlik o'rinli, ya’ni cheksiz kichik ketma-ketlik.
2 -teorema. chegaralangan ketma-ketlik, esa cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lsa, ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik bo ‘ladi.
Isbot. ketma-ketlik chegaralangan ketma-ketlik bo'lgani uchun, shunday son mavjudki, barcha n natural sonlar uchun tengsizlik bajariladi. ixtiyoriy musbat son bo'lsin. 0 sonining atrofini olamiz. cheksiz kichik bo'lgani uchun, shunday N natural son mavjudki, uning hadidan boshlab barcha hadlari olingan atrofda yotadi, ya'ni barcha da bo'ladi. qirqimni qaraymiz. larda
bo'lgani uchun, bu qirqim 0 sonining - atrofida yotadi. Demak, cheksiz kichik ketma-ketlik.
3-teorema. Agar ketma-ketliklar cheksiz kichik ketma-ketliklar bo'lsa, ketma-ketlik ham cheksiz kichik ketma-ketlik bo'ladi.
Isbot. chegaralangan ketma-ketlik, esa cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lgani uchun ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlikdir (2-teorema). Shu sababli,
ketma-ketlik cheksiz kichikdir ( 1-teorema).
Isbotlangan teoremalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
1-natija. Chekli sondagi cheksiz kichik ketma-ketliklarning algebraik yig‘indisi ham cheksiz kichik ketma-ketlik bo'ladi.
2-natija. Cheksiz kichik ketma-ketliklarning ко ‘paytmasi ham cheksiz kichik ketma-ketlikdir.
3-natija. cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lsa, va (k - natural son) ketma-ketliklar ham cheksiz kichik ketma-ketlik bo'ladi.
Share with your friends: |
