Limitlar haqida asosiy teoremalar.
Oldingi bandlarda ketma-ketlikning limitini hisoblash haqidagi masala ochiq qolgan edi. Endi shu masalaga qaytamiz.
1-teorema. Agar , bo 'Isa, u holda ketma-ketlik ham limitga ega va tenglik o‘rinli.
Isbot. , bo'lgani uchun va ketma-ketliklar cheksiz kichik ketma-ketlikdir. U holda cheksiz kichik va ketma-ketliklarning yig'indisi sifatida ketma-ketlik ham cheksiz kichik ketma-ketlikdir. Shu sababli,
2-teorema. Agar , bo 'Isa, u holda ketma-ketlik limitga ega va tenglik bajariladi.
Isbot. , bo'lgani uchun va ketma-ketliklar cheksiz kichik ketma-ketliklardir. Shu sababli cheksiz kichik ketma-ketliklar yig'indisi bo'lgan ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlikdir. Demak,
3-teorema. Agar , bo ‘lib, bo ‘Isa, u holda ketma-ketlik n ning biror qiymatidan boshlab ma’noga ega va bo'ladi.
Keltirilgan teoremalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
1-natija.
2-natija. (c=const).
3-natija. (k=natural son).
4-teorema. Agar bo'lib, bo'lsa, bo'ladi.
Isbot. va bo'lgani uchun , tengliklar bajariladi, bu yerda , - cheksiz kichik ketma-ketliklardir. Shu sababli, yoki tengsizlik o'rinlidir. ixtiyoriy musbat son bo'lsin. cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lgani uchun shunday , natural son topiladiki, barcha , natural sonlar uchun tengsizlik bajariladi. cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lgani uchun shunday natural son topiladiki, barcha natural sonlar uchun tenglik bajariladi. , va natural sonlardan katta bo'lgan natural son olaylik. U holda barcha lar uchun , tengsizliklar bir vaqtda bajariladi. Aynan shu lar uchun tengsizlikka ega bo'lamiz. Demak, ixtiyoriy son uchun, shunday natural son topiladiki, barcha lar uchun yoki baribir tengsizlik bajariladi. Bu esa ekanligini tasdiqlaydi.
1-misol. ni hisoblang.
Yechish. Keltirilgan teoremalardan va natijalardan foydalanamiz:
2-misol. ni hisoblayiz.
Yechish.
2.1-§ Monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teorema.
Share with your friends: |
